Brīvas svārstības būvmehānikā

Vecākā no būvmehānikas disciplīnām ir darinājumu dinamika. Tā ir lietišķā zinātņu disciplīna, kas sākotnēji tika uzskatīta par dabas filozofijas nozari, pirmssākumi meklējami Galileo Galileja laikā. Renesanses laikā Galileo bija viens no pirmajiem, kas rūpīgi izskatīja paātrinājuma jēdzienu un nodibināja dinamiku, kā dabas filozofijas nozari. Tomēr dinamikas vēsture sākās jau Aristoteļa laikā, kas datējama ar 384. g.p.m.ē., ar pētījumiem, kam Aristoteļa fizika bija pirmais solis šajā garajā ceļojumā.
Stabilitātes aprēķini ir nozīmīgi būvkonstrukcijās, aviācijas inženierijā, atominženierijā, ģeotehniskajās konstrukcijās, materiālzinātnēs un citās nozarēs. To aizsācējs ir Leonards Eilers, kas bija matemātiķis, fiziķis, astronoms un inženieris, ar savu traktātu par Eilera kolonnas stabilitāti, kas datējama ar 1744. gadu.

Konstrukciju dinamika

Konstrukciju dinamika ir viena no būvmehānikas nodaļām un apskata konstrukciju aprēķinu principus un metodes dinamisku slodžu iedarbībā. Dinamiskās slodzes ir tādas slodzes, kuru lielums, virziens vai novietojums mainās laikā. Vairums slodžu ir mainīgas kādā no šiem aspektiem, bet, ja maiņa notiek pietiekami lēni, tad tās var uzskatīt par statiskām, jo nenotiek dinamisks efekts. Dinamiskām slodzēm, iedarbojoties uz konstrukciju, ir jāņem vērā inerces spēki. Inerces spēki ir saistīti ar pielikto slodžu un pašas konstrukcijas masu pārvietošanos. Masu var uzskatīt par inerces mēru. Jo lielāka masa, jo lielāka ir inerce, uzsākot kustību vai apstājoties. Inerce ir ķermeņa tieksme pretoties ātruma maiņai jeb pretoties spēkam, kas cenšas to paātrināt.

Ņūtona likumi apraksta saikni starp spēku un kustību. Otrais Ņūtona likums (skat. 1. att.) nosaka, ka ķermeņa paātrinājums ir tieši proporcionāls spēkam, kas uz to darbojas, un apgriezti proporcionāls masai, kas piemīt ķermenim (f = spēks, m = masa, a = paātrinājums).

Konstrukcijas, kas var tikt pakļautas dinamiskām iedarbēm:

• Augstceltnes un skursteņi;
• Vanšu konstrukcijas (tilti, jumti);
• Tērauda dzelzceļa tilti;
• Režģoti torņi;
• Membrānu konstrukcijas;
• Dzesēšanas torņu atomelektrostacijās;
• Lielaiduma pārsegumi un pārsegumi, kas balsta iekārtas;
• Pamati dinamiskajā ietekmē;
• Konstrukcijas montāžas vai rekonstrukcijas laikā;
• Ostu un hidrotehniskās konstrukcijas;
• Elektrolīnijas.

Kā jau iepriekš minēts, dabā gandrīz visas iedarbes ir dinamiskas, bet dažu novietojums mainās tik lēni, ka netiek radīts dinamiskais efekts jeb inerces spēku efekts. Mūsdienās saprast dinamiku kļūst aizvien svarīgāk, jo attīstās gan materiālzinātnes, gan datoraprēķinu metodes, kur aizvien precīzāk iespējams aprakstīt reālas konstrukcijas. Stingumi un masas kļūst mazākas, bet laidumi kļūst lielāki un inerces spēki sāk kļūt būtiskāki. Nevar atraut konstrukcijas, kas var tikt pakļautas dinamiskām iedarbēm, no svārstību jeb iedarbju ierosinātājiem. Šie dinamiskie efekti kļūst izteikti tajā brīdī, kad pašsvārstību periodi ir salīdzināmi ar slodzes periodiem. Svārstību ierosinātājus var sadalīt divās grupās – iekšējie un ārējie avoti.

Iekšējie avoti:

• Ventilācijas sistēmas;
• Liftu kustība;
• Šķidruma pumpēšanas iekārtas;
• Tehnoloģiskās iekārtas un ģeneratori;
• Cilvēku aktivitāte.

Ārējie avoti:

• Seismiskā aktivitāte;
• Metro, transporta kustība pa ceļiem un dzelzceļa līnijām, lidmašīnu kustība:
• Vējš, viļņi.

Dinamiskas slodzes

Visas dinamiskās slodzes izsauc svārstības konstrukcijās uz kurām tās iedarbojas. Konstrukcijas jutīgumu pret dinamisko slodžu ietekmi zināmā mērā raksturo proporcijas starp tās izmēriem. Ja izmēri a, b un c ir salīdzināmi, konstrukcija ir maz jutīga (tas gan neizslēdz iespēju, ka svārstīsies kāds sistēmas elements). Ja kāds no izmēriem ir izteikti lielāks vai mazāks par pārējiem, konstrukcija var būt jutīga pret dinamisko slodžu ietekmi.

Dinamisko slodžu izraisītie efekti (laikā mainīgi):

• Pārvietojums;
• Paātrinājums;
• Piepūles;
• Spriegumi.

Pārvietojumi ir svarīgi svārstību formu un piepūļu noteikšanai. Paātrinājums ir svarīgs komforta noteikšanai konstrukcijās (SLS), jo cilvēks jūt nevis pārvietojuma lielumu, bet gan paātrinājuma lielumu.

Dinamisko slodžu radītās problēmas var iedalīt divās grupās. Pirmā grupa saistīta ar lietojamības jeb ekspluatācijas robežstāvokli (troksnis, nekomfortabla sajūta), šie efekti neapdraud konstrukciju, bet padara tās lietošanu nepatīkamu. Otrā grupa saistīta ar nestspējas robežstāvokli (dinamiskā nestabilitāte, noguruma plaisas, plastisko deformāciju palielināšanās).

Brīvas svārstības sauc par pašsvārstībām. Svārstību periods ir vienas pilnas svārstības laiks (T[s]). Svārstību frekvence jeb biežums ir svārstību skaits laika vienībā, piemēram, svārstību skaits sekundē (f [Hz]). Rezonanse ir parādība, ko novēro gadījumā, kad uzspiesto svārstību amplitūda sasniedz maksimālo vērtību, ja ārējā spēka frekvence tuvojas sistēmas pašsvārstību frekvencei. Amplitūda ir attālums no nulles punkta jeb viduspunkta līdz maksimālajam kustības rādītājam. Uzspiesto svārstību laikā avots netiek noņemts, bet visu laiku tiek turpināts ierosināt svārstību.

Svārstību veidi

Uzspiestu svārstību gadījumā konstrukcijai ar noteiktu biežumu tiek pievadīta enerģija. Svārstība tiek uzturēta vai palielināta. Rezonanses gadījumā pašsvārstību frekvence tuvojas uzspiesto svārstību frekvencei. Jebkura šī kustība sadalās divās daļās (gan brīvo, gan uzspiesto svārstību daļa). Ja tiek pielikta uzspiestā daļa, tad pašā kustību sākumā netiek novērots sinusoīds, bet gan haoss, pēc laika kustības nostabilizējas. Svārstību stabilizācijas posmu sauc par stacionārām svārstībām. «Haosu» sauc par brīvo svārstību rimstošo daļu. Ar šādu funkciju var raksturot šo svārstību kustību:

Konstrukcijām ir daudz vairāk par vienu pašsvārstību periodu vai pašsvārstību frekvenci, kas ir tam apgrieztais lielums. Lai apmēram gūtu priekšstatu par skaitļiem un lielumiem, par kuriem ir runa, skatīt 3. attēlu.

Dinamisko iedarbju avoti:

• Vēja dinamiskā iedarbe (neregulāra, gari periodi);
• Zemestrīces (periodi īsāki (parasti < 1s));
• Cilvēku aktivitāte (iešana: 1-3 Hz; aerobas aktivitātes ap 2,5Hz (T=0,4s));
• Ieslēgtas iekārtas (ap 3000ap/min=50Hz; T=0,02s );
• Transporta slodze.

Konstrukciju drošības riski rodas, ja dinamiskie spēki palielinās tad, kad pašsvārstību periodi un frekvences pielīdzinās dinamisko iedarbju biežumam. Dažādām dinamiskām iedarbēm to pielikšanas biežumi ir dažādi. Vēja dinamiskā iedarbe raksturojas ar neregulāriem biežumiem un gariem periodiem. Attēlā 4 uz horizontālās apakšējās ass ir vēja frekvence, zem tās ir periodi. Maksimālā vēja enerģija bieži ir perioda diapazonā no 100 līdz 10 sekundēm, retāk – 1s. Ja apskata, kādos diapazonos ir ēku pašsvārstību un periodu frekvences, var redzēt to, ka vēju iedarbes sakrīt ar augstu ēku pašsvārstību raksturlielumiem. Uz skalas apzīmētas arī zemestrīču iedarbes, kuras ir ar īsākiem periodiem. Zemas, stingas ēkas ir ar maziem periodiem, augstām frekvencēm, kas sakrīt ar zemestrīces darbības biežumu. Tādēļ bieži pēc zemestrīču notikšanas ir novērojams, ka sabrukušas ļoti daudz zemas mūra ēkas. Arī cilvēku aktivitātes (skriešana, iešana, lekšana), ieslēgtas iekārtas un transporta slodze ir dinamiskās iedarbes.

Lock in efekts – cilvēki pieskaņojas konstrukcijas svārstībām, notiek sinhronizēšanās, cilvēki, pat nemanot, sāk iet vienā tempā un tas izraisa aizvien lielākas konstrukcijas svārstības un rezonanses efektu.

Lai spētu prognozēt, kāda ir atbildes reakcija (pārvietojums, spriegums) konstrukcijās no dinamiskās slodzes, ir jāizprot dinamisko slodžu būtība. Dinamiskās slodzes ir atšķirīgas, tās iespējams iedalīt vairākās grupās un atkarībā no grupas mainās pieeja, kādā veidā var iegūt rezultātus. Pirmā grupa ir pašas vienkāršākās dinamiskās slodzes – harmoniskās slodzes. Šādas slodzes ir bieži novērojamas, tās rodas nenobalansētu iekārtu dēļ, raksturojas ar nepārtrauktu darbību, ir harmoniskas un periodiskas. Harmoniskas, jo darbojas pēc sinusa un kosinusa likuma, un periodiskas, jo vienādi periodi atkārtojas laikā. Lai varētu rēķināt efektu no šīm slodzēm, ir jāveido matemātiski apraksti. Šādi iespējams aprakstīt sinusoīdu funkciju matemātiski:

Matemātiskā apraksta skaidrojums: f ir slodze, (t) nozīmē atkarību no laika, F ir svārstību maksimālā amplitūda, ω ir leņķiskā frekvence. Laiks iet uz priekšu, leņķiskā frekvence nemainās, amplitūda mainās – tādā veidā tiek iegūta konkrētā funkcija.

Otrā dinamisko slodžu grupa ir periodiskas slodzes. Šīs slodzes arī raksturojas ar nepārtrauktu darbību un ir periodiskas, ir iespējams saskatīt periodus, kas atkārtojas, bet tās nav harmoniskas slodzes. Tās nevar aprakstīt ar vienu sinusoīdu vai kosinusoīdu. Periodiska slodze ir, piemēram, gājēju slodze, kas ir būtiska vieglām konstrukcijām, pārsegumiem, gājēju tiltiem. Periodiskas slodzes piemērs apskatāms 6. attēlā.

Ar periodiskām slodzēm ir salīdzinoši vienkārši tikt galā, jo tās vienmēr iespējams sadalīt atsevišķās komponentēs, kurām ir sava amplitūda, leņķiskā frekvence un fāžu nobīde.

Trešā dinamisko slodžu grupa ir impulsa slodzes. Tās ir pārejošas un raksturojas ar ļoti īsu darbības laiku (var neievērot svārstību rimšanu). Slodzes pielikšanas laiks ir daudz īsāks par pašas konstrukcijas pašsvārstības periodu. Piemēri ir trieciens, sprādziens vai impulss, sadursme (kaut kas tiek nomests uz konstrukcijas). Impulsa slodzes piemērs apskatāms 7. attēlā.

Piemērā attēlota funkcija sprādziena gadījumā. Sākumā iet laiks, nekas nenotiek, tad noteiktā brīdī ir sprādziens. Sprādziena vilnis uzspiež uz konstrukciju ar lielu vērtību, laikam ejot, tas samazinās līdz negatīvajam spiedienam, pēc laika atkal samazinās. Laiks, kurā slodze tika pielikta, ir daudz mazāks par konstrukcijas pašsvārstību frekvenci.

Ceturtā dinamisko slodžu grupa ir kustīgas slodzes. Piemēram, ātrvilciena pārvietošanās pa tiltu. Šādas slodzes ierosina harmoniskas svārstības konstrukcijās, kuras var aprakstīt ar sinusa vai kosinusa likumu, bet dažādās pašsvārstību frekvencēs, nevis tikai vienā. 8. attēlā shematiski attēlots tilts un svārstību ierosinātājs.

Laikam ejot, svārstību ierosinātāja masa nepalielinās, bet novietojums palielinās. Šādu gadījumu iespējams atrisināt ar ietekmes līniju palīdzību, ja inerces spēki no pārvietošanās ir tādi, kuri nav jāņem vērā. Ja inerces spēki ir būtiski, tad jāņem vērā arī dinamiskā komponente.

Kustīgu slodžu gadījumā ir ļoti svarīgs kustības ātrums attiecībā pret konstrukciju, jo ir iespējama rezonanse.

Sarežģītākais, kompleksākais dinamisko slodžu veids ir haotiskas slodzes (vējš, zemestrīce u.c.). Tās raksturojas ar ierobežotu darbības laiku, bet var būt gan stacionāri, gan īslaicīgi haotiskas. Vēja slodzes ir stacionāri haotiskas un to piemērs attēlots 9. attēlā.

10. attēlā iespējams apskatīt zemestrīču grafikus.

Grafikos ir ierakstīti zemes svārstību paātrinājumi laikā un tie raksturojas ar to, ka ir haotiska slodze ar palielinātu amplitūdu, kas vēlāk norimst.

Aprēķināšanas metodes

Iepriekš tika apskatītas konstrukcijas, kuras var ietekmēt dinamiskās slodzes, un dinamisko slodžu veidi. Ja ir konstrukcija, tad uz to darbojas iedarbe, no iedarbes veidojas kāds no efektiem un efekti tiek salīdzināti ar robežlielumiem (tāpat, kā statisko iedarbju gadījumā, bet dinamisko iedarbju gadījumā nāk klāt inerces efekts).
Kā var iegūt efektus (pārvietojums, paātrinājums, spriegums u.c.)? To var izdarīt, pielietojot divas metodes – statisko un enerģētisko. Statiskās metodes gadījumā veido dinamiskā līdzsvara vienādojumus, ņemot vērā inerces spēkus, kā atbilstošo masu un paātrinājumu reizinājumu. Enerģētiskās metodes pamatā ir enerģijas nezūdamības likums, kinētiskās un potenciālās enerģijas summa laikā ir konstants lielums. Harmonisku svārstību gadījumā statiskā līdzsvara stāvoklī potenciālā enerģija ir vienāda ar nulli, bet maksimālas novirzes gadījumā kinētiskā enerģija ir vienāda ar nulli. Statiskās metodes risināšanas apjoms un sarežģītība ir atkarīga no sistēmas
brīvības pakāpes.

Brīvības pakāpe

Brīvības pakāpe ir neatkarīgo ģeometrisko parametru skaits, kas nosaka visu sistēmas masu atrašanās vietu pie jebkuriem elastīgiem sistēmas pārvietojumiem. Katrai sistēmas brīvības pakāpei atbilst sava svārstību forma (moda) un sava svārstību frekvence. Bieži vien konstrukciju aprēķiniem pietiek ar dažām vai par vienu svārstību formu ar zemākajām frekvencēm un lielākajām amplitūdām. Sistēmas brīvības pakāpes jēdzienam konstrukciju dinamiska aprēķina gadījumā ir cits saturs, kā statiska aprēķina gadījumā, veicot konstrukcijas kinemātisko analīzi. Kinemātiskās analīzes gadījumā kustības brīvības pakāpe tiek rēķināta absolūti cietiem diskiem un stieņiem, tātad  neņemot vērā nekādas elastīgas deformācijas. Dinamiskā aprēķina gadījumā, nosakot sistēmas brīvības pakāpi, tiek ņemtas vērā tieši sistēmas elastīgās deformācijas.

11. attēlā ir daži piemēri, lai varētu saprast, kas ir brīvības pakāpe.

Piemērā a ir vienlaiduma sija, kuras pašsvars ir nenozīmīgs, salīdzinājumā ar uz to esošajām masām (m₁, m₂, m₃). Kā šīs masas var kustēties? Piemēram, šīs masas var pārvietoties uz leju, kā tas būtu no smaguma spēka statiskā gadījumā, iegūstot ar raustīto līniju apzīmēto pārvietojumu. Šo pārvietojumu sauc par svārstību formu, šajā gadījumā tā būs pirmā svārstību forma. Neatkarīgais ģeometriskais parametrs, kas nosaka visu sistēmas masu atrašanās vietu, šajā gadījumā ir pārvietojumi y₁, y₂, y₃. Jāņem vērā, ka šis nav vienīgais veids, kā svārstoties masas var izkārtoties. Var būt gadījums, kad masa m₁ un m₃ pārvietojas uz leju, bet masa m₂ pārvietojas uz augšu vai otrādi. Tad tiek iegūta cita svārstību forma, bet saglabājas tie paši pārvietojumi, kas apraksta masu atrašanās vietu. Piemēra a sijai brīvības pakāpe ir 3. Sijai ar vienu masu (piemērs c) svārstību forma var būt tikai viena, jo masas pārvietošanos plaknē apraksta tikai viens ģeometriskais parametrs – pārvietojums. Piemēra c sijai brīvības pakāpe ir 1. Trīs dažādām masām atbilst katrai sava brīvības pakāpe un sava svārstību forma. Masas iespējams izkārtot trīs dažādos veidos. Masu atrašanās vietu var aprakstīt ne tikai pārvietojumi.

Piemērā b ir sija ar konsoli un uz tās ir masa m₁. Ir balsts, kas nepieļauj pārvietojumus vertikālā virzienā, bet tikai pagriezienus. Ir arī divi atsperu balsti, kur var notikt papildu pārvietojumi. Uz sijas atrodas arī masas m₂, m₃ un m₄. Tiek uzskatīts, ka šī sija ir ar bezgalīgu stingumu (pati nevar izliekties). Tādā gadījumā svārstība būs pagrieziens. Katras masas atrašanās vietu var raksturot, zinot tikai vienu parametru – pagrieziena leņķi α. Neskatoties uz to, ka šai sistēmai ir četras masas, tai ir tikai viena brīvības pakāpe un viena iespējamā svārstību forma (taisni uz augšu vai leju).

Piemērā d ir attēlots rāmis, kas apskatīts plaknē un ass spēka dēļ tas nevar deformēties. Ir trīs masas, paša rāmja svars ir nenozīmīgs. Masas m₁ un m₃ var pārvietoties horizontāli, masa m₂ var pārvietoties horizontāli un vertikāli. Ir 4 brīvības pakāpes, ir nepieciešami 4 parametri, kas var raksturot masu atrašanās vietu. Pastāv 4 svārstību formas.

Piemērā e attēlota konsole, kuras svars tiek ņemts vērā un ir sadalīts vienmērīgi pa visu garumu vai arī sija ir noslogota ar kādu vienmērīgi izkliedētu spēku. Šādai sijai iespējams atrast bezgalīgi daudz masas, bezgalīgi daudz brīvības pakāpes un svārstību formas, svārstību frekvences.

Realitātē konstrukcijas tiek maksimāli tuvinātas noteiktam matemātiskam modelim. Attēla 12 kreisajā pusē redzams ūdenstornis ar ūdenstverti augšgalā. Attiecībā pret tvertnes masu paša torņa konstrukcija ir samērā neievērojama. Vēja ietekmē konstrukcija svārstīsies. Šādu konstrukciju iespējams aproksimēt, kā konstrukciju ar vienu kustības brīvības pakāpi, jo galvenā masa atrodas augšdaļā. Attēla labajā pusē ir tornis un masa ir sadalīta vienmērīgi pa visu torņa garumu. Pastāv bezgalīgi daudz brīvības pakāpes, var tikt ierosinātas bezgalīgi daudz svārstību formas un frekvences.

Stingums un padevīgums

Dinamikā ļoti svarīgi konstrukcijas lielumi ir masa, kas rada inerces spēkus, un elastīgais stingums jeb spēja pretoties elastīgām deformācijām. Attēlā 13. ir redzama atsperes analoģija. Atsperei ir noteikts stingums k un, pieliekot spēku un saspiežot atsperi, tiek iegūts pārvietojums d. Pieliktais spēks ir proporcionāls pārvietojumam. Proporcionalitātes koeficients ir atsperes stingums.

Ņemot vērā tādu pašu analoģiju, kolonnai, pieliekot spēku P, novērojama deformācija tās ass virzienā. Ja apzinās pārvietojumu no kolonnas deformācijām, tad ir iespējams pārveidot formulu un iegūt, ka pieliktais spēks ir proporcionāls pārvietojumam. Proporcionalitātes koeficients ass spēka gadījumā ir elastības modulis E x šķērsgriezuma laukums A / kolonnas augstumu L jeb ExA/L. Lai iegūtu padevīgumu jeb apgriezto lielumu, ir nepieciešams lielumus formulā apgriezt otrādi (L/EA). Stinguma mērvienība ir N/m, bet padevīguma – m/N.

Kas ir stingums liecē? Jāatceras atsperes analoģiju. Pastāv pārvietojums delta un spēks P.  Proporcionalitātes koeficients ir K un attēlā 14. redzama tā formula. K ir atkarīgs no konstrukcijas slogojuma un aprēķina shēmas.

Statiskā metode (SDOF)

Statiskā metode konstrukcijām ar vienu kustības brīvības pakāpi.

Jāveido dinamiskā līdzsvara vienādojumi, kuros ietilpst elastīgie un inerces spēki. Masa ir saistīta ar svaru (masa = svars w / brīvās krišanas paātrinājums g). Pārvietojuma atvasinājums pēc laika ir vienāds ar ātrumu (ds/dt=v). Ātruma atvasinājums pēc laika ir vienāds ar paātrinājumu (dv/dt=a). Divkārši atvasinot pārvietojumu, iegūst paātrinājumu.  

Līdzsvara vienādojumā ietilpst arī rimšana, jo reālās konstrukcijās vienmēr ir enerģijas zudumi. Potenciālā un kinētiskā enerģija ar laiku samazinās. Svārstība vairs nebūs sinusoīda ar vienādu amplitūdu, brīvās svārstības enerģijas zuduma rezultātā samazināsies līdz tās norims. Līdz pat mūsdienām enerģijas zuduma mehānisms nav līdz galam matemātiski aprakstīts, pastāv dažādi modeļi atkarībā no dažādiem apstākļiem. Viens no vienkāršākajiem un precīzākajiem modeļiem ir viskozās rimšanas modelis. Rimšanas spēks F ir proporcionāls svārstību ātrumam v, kur proporcionalitātes koeficients c ir rimšanas konstante. Pastāv arī dažādi citi nelineārie rimšanas modeļi.

Kustības pamatvienādojums sistēmai ar vienu brīvības pakāpi ir  diferenciālvienādojums, kas apraksta sistēmas svārstības ārējās slodzes iespaidā, ņemot vērā svārstību rimšanu. Tas izsaka visu uz sistēmu darbojošos spēku līdzsvaru jebkurā laika momentā. Tajā ietilpst inerces spēks, kas ir atkarīgs no masas un masas pārvietošanās paātrinājuma, rimšanas spēks, kas ir atkarīgs no rimšanas koeficienta un svārstību ātruma, kā arī elastības spēks, kas ir atkarīgs no pašas konstrukcijas stinguma un pārvietojuma. Vienādojumu līdzsvaro ārēji pieliktais spēks, kas ir laikā mainīgs.

Statikā mēģina atrast vismaz balstreakcijas, veido algebriskus vienādojumus un cenšas izteikt kādu no interesējošiem lielumiem. Dinamikā spēks, pārvietojums, svārstību ātrums un paātrinājums ir laikā mainīgs. Līdz ar to šis vienādojums nav algebrisks, bet ir diferenciālvienādojums, kas apraksta sistēmas svārstības ārējās slodzes iespaidā. Ja būtu iespējams atrisināt šo vienādojumu, tad iegūtu masas pārvietojumu jebkurā laika sprīdī no līdzsvara stāvokļa. Tiktu iegūta funkcija, kā masa pārvietojas ārējo spēku ietekmē. Šo vienādojumu iespējams izteikt ar dinamisko aprēķinu modeli (skat. 15. att.)

Masas, kas piedalās svārstību procesā, tiek apzīmētas ar kvadrātu, kura iekšpusē ir burts m. Masa var būt gan slodze, kas pielikta kādā sistēmas punktā (ignorējot pašsvaru), gan pašsvars, aizvietots ar reducēto masu m_red, gan abu kombinācija. Masas un paātrinājuma reizinājums dod inerces spēku. Svārstību rimšanas koeficientu apzīmē ar burtu c. Tas ņem vērā dažāda veida enerģijas zudumus: iekšējā berze sistēmas materiālā, berze savienojumos, apkārtējās vides ietekme, u.c. Pieņemot, ka rimšanas spēks pieaug proporcionāli ātrumam, c ir spēks uz ātruma vienību un rimšanas spēks ir c un ātruma reizinājums. Konstrukcijas stingumu apzīmē ar burtu k un attēlo, kā atsperi. Tas ir koeficients, kas raksturo sistēmas stingumu, spēju pretoties pārvietojumam no līdzsvara stāvokļa. Tātad k skaitliski vienāds ar spēku, kas cenšas atgriezt sistēmu sākotnējā līdzsvara stāvoklī  pie m vai m_red pārvietojuma par vienu vienību. Tātad elastības spēku var iegūt, kā stinguma koeficienta reizinājumu ar atbilstošo pārvietojumu. Elastības spēkus var izraisīt gan liektu stieņu reakcija, gan grunts pretestība, gan troses nostiepuma spēks, gan šo un citu faktoru kombinācijas. Laikā mainīgais spēks tiek apzīmēts ar bultiņu, virs kuras ir P(t). Apvienojot visus komponentus, iegūst aprēķinu shēmu, matemātisko modeli dinamikas uzdevumam.

Pastāv arī speciālgadījumi (skat. 16. att.), kuri ir būtiski, jo tad aprēķini un informācijas ieguve kļūst vienkāršāka. Pilnajā kustības vienādojumā ir visi trīs spēki un ārējais spēks, kā arī tā aprēķina modelī ietilpst stingums, rimšanas koeficients, masa, ārējais spēks. Aprēķina modelī var redzēt spēku līdzsvarojumu. Šis vienādojums apraksta uzspiestas svārstības un atrisinājumā tiek iegūts pārvietojums uzspiestu svārstību gadījumā. Ja nav ārējais spēks P(t), tad tā vietā ir nulle, vienādojums kļūst par brīvu rimstošu svārstību vienādojumu, kura atrisinājums ir svārstību rimšana. Aprēķinu modelī vairs nav ārējais spēks un elastīgo spēku līdzsvaro inerces un rimšanas spēki. Trešais gadījums, kad var neņemt vērā enerģijas zudumus (rimšanas spēku) ir vienādojums, kas apraksta brīvas svārstības, neievērtējot vides pretestību. Šajā gadījumā inerces un elastīgais spēks viens otru kompensē. Ja šī vienādojuma abas puses dala ar masu, tad iegūst vienādojumu, kurā k/m ir sistēmas pašsvārstību frekvence kvadrātā (ω²). Sistēmas pašsvārstību frekvence ir kvadrātsakne no K/M (K ir sistēmas stingums, M ir sistēmas masa). Šī sakarība ir ļoti svarīga un tā noteikti ir jāiegaumē.

ω korektais apzīmējums ir cikliskā frekvence jeb leņķiskais ātrums un to mēra rad/s. Zinot šo lielumu, ir iespējams izteikt pašsvārstību frekvenci hercos. Šādu sinusoīdu ir iespējams attēlot arī trigonometriskajā aplī. Aplī laika gaitā vektors no centra griežas pa apli, viena pilna svārstība ir viens pilns aplis. Tādā gadījumā cikliskā frekvence ir svārstību skaits 2π sekundēs. 

Cikliskā frekvence tiek mērīta rad/s un, ja ir nepieciešamība atrast pašsvārstību frekvenci hercos, tad jāņem vērā šādu sakarību:

Sakarībā ƒ ir pašsvārstību frekvence hercos un tā ir apgriezts lielums pašsvārstību periodam, kas ir laiks, kurā notiek viena svārstība. Tālākiem aprēķiniem ir nepieciešams atcerēties, ka masa ir saistīta ar svaru. Papildu tam ir jāatceras, kas ir fāzu nobīde.

Lai arī reālām konstrukcijām ir bezgalīgi daudz svārstību formu un zemāko pašsvārstību frekvenču, bieži vien būtiskākie pārvietojumi ir, iesvārstot pašu zemāko. Šī iemesla dēļ reālām konstrukcijām ir pietiekami ar to, ka tiek atrasti efekti no zemākās pašsvārstību frekvences.

Izmantotie informācijas avoti:

• Gaile, L. 2019. Brīvas svārstības. Rīga: RTU.
• Paeglīte, I. 2021. Kustīgās slodzes dinamiskās iedarbes uz autoceļu tiltiem. Eksperimentāla izpēte un novērtējums. Rīga: RTU izdevniecība.
• Podnieks, K. 2013. Einšteina relativitātes teorija līdz E=mc2. Matemātiķa piedzīvojumi. Rīga: LU.