Jebkurai konstrukcijai ārējo slodžu iedarbībā jābūt ne tikai izturīgai (jāveic stiprības aprēķini), ne tikai pietiekami stingai (jāveic pārvietojuma un deformāciju aprēķini), bet tai jābūt arī stabilai, noturīgai (jāveic noturības aprēķini).
Izšķir absolūti cietu un deformējamu sistēmu noturību.

Būves stiprību, noturību un stingrību nosaka pielietotais materiāls un tā īpašības, būves elementu forma un izmēri, iekšējās piepūles (spēki un momenti), kuras rodas un attīstās būves elementos tās slogojuma gaitā.

Stiprības aprēķini nodrošina būves pretestību ārējām slodzēm. Noturības aprēķini novērtē būves spēju saglabāt savu sākotnējo vai līdzsvaroto deformēto stāvokli. Stingrības aprēķinu uzdevums ir nodrošināt inženierbūves pret lielām deformācijām un svārstībām, kuras nav pieļaujamas normālas būvju ekspluatācijas apstākļos

Noturības un noturības zuduma jēdzienu skaidrojums

Jebkurai konstrukcijai ir jāizpildās priekšnosacījumam, ka tā ir stabila jeb noturīga.

Uzskatāmības veidošanai var izmantot attēlā redzamo analoģiju ar divām ielejām un vienu kalnu, kur atrodas divas bumbiņas, kas apzīmē divas dažādas konstrukcijas. Bumbiņa A atrodas ielejā un tā, izvirzoties no sākuma stāvokļa, pasvārstoties atgriežas sākuma stāvoklī pēc iedarbes noņemšanas. Ja šādā veidā uzvedas arī konstrukcija, tad tā ir stabila un noturīga. Bumbiņa B atrodas nestabilā līdzsvara stāvoklī un, ja nav pielikta ārējā iedarbe, tā stāv kalna virsotnē. Pēc ārējas iedarbes ietekmes, bumbiņa B noripos ielejā, pasvārstīsies un tur apstāsies.

Sistēmai līdzsvara stāvoklis ir stabils jeb noturīgs, ja pēc līdzsvara stāvokļa novirzes tā atgriežas sākuma stāvoklī. Sistēma ir nestabila jeb nenoturīga, ja iegūst novirzi no līdzsvara stāvokļa un neatgriežas sākuma stāvoklī.

Noturības zaudēšana ir atkarīga no ārējās slodzes lieluma.

Noturības aprēķinā pārbauda darinājuma līdzsvara stabilitāti doto slodžu iedarbībā.

Pāriešana no viena līdzsvara stāvokļa uz otru: bumbiņa B pāriet no sava nestabilā līdzsvara stāvokļa uz stabilo (A) vai otrādi (cita bumbiņa pāriet no stabilā līdzsvara stāvokļa uz nestabilo).

Konstrukcijas līdzsvara stāvokļa stabilitāte ir atkarīga no pieliktās slodzes.

Indiferents stāvoklis (bumbiņa E) –  bumbiņa atrodas uz taisnes.

Citi gadījumi: bumbiņa D ir stabilā līdzsvara stāvoklī, pie nelieliem pārvietojumiem tā atgriezīsies stabilā līdzsvara stāvoklī, bet pie lieliem pārvietojumiem tā nokļūs indiferentā stāvoklī (pāreja starp stabilo un nestabilo). Jāatceras, ka konstrukcijai vienmēr ir jāpaliek stabilajā līdzsvara stāvoklī.

Konkrētam darinājumam ir iespējams atrast slodzi, kad sākuma līdzsvara forma kļūst nestabila (ieņem jaunu līdzsvara stāvokli). Noturības zaudēšana ir pāriešana no viena līdzsvara stāvokļa uz citu (atkarīgs no spēka P).

Palielinoties slodzei P, stabils līdzsvara stāvoklis var tikt mainīts (noturības zaudēšana). Šo noturības zaudēšanu jeb pāreju no viena līdzsvara stāvokļa uz citu sauc par bifurkāciju. Jaunais līdzsvara stāvoklis var būt stabils vai nestabils.

Sasniedzot kritisko slodzi, kad notiek noturības zaudēšana, konstrukcija nesabrūk uzreiz, jo to nosaka stiprības kritēriji. Stiprības aprēķini nosaka to, kas notiks ar konstrukciju.

Kāpēc nedrīkst pieļaut noturības zudumu? Pat tad, ja jaunā forma ir stabila, tā iepriekš projektā nav paredzēta un nav vēlama.

Noturības zudums spiedē

Pieliekot ass spēku, sāk notikt kolonnas izliekšanās. Kādi ir iemesli?

Tikai ideālā pasaulē stienis ir ideāli taisns. Jau sākotnēji stienim ir noteikts izliekums. Arī spiedes spēku nav iespējams pielikt absolūti centriski, tas tiek pielikts nedaudz ekscentriski. Arī pats materiāls nav absolūti homogēns. Spiedes rezultātā viena ķermeņa puse saīsinās vairāk par otru un stienis izliecas.

Noturības zuduma spiedē iemesls ir lieces moments. Lieces moments rodas no iepriekš uzskaitītajiem efektiem.

Pēc tā, kā uzvedās sistēma pēc noturības zuduma, var izšķirt divus zuduma veidus (pirmā veida un otrā veida noturības zudums). 

Pirmā veida noturības zudums raksturīgs tādām konstrukcijām kā kolonnas, plātnes, cilindri.

Attēlā (kreisā puse) apskatāms pēckritisko deformāciju grafiks. Uz vertikālās ass ir attiecība – pieliktais spēks pret bifurkāciju (1.0) – var novērot, kas notiek pēc tam. Ideālam stienim bez sākuma nepilnībām atbilst nepārtrauktā līnija. Nepārtrauktā līnija apzīmē reālu sistēmu, kura uzvedās dažādi pie bifurkācijas sasniegšanas. Kolonnas gadījumā ir indiferents stāvoklis (1). Spiestas plātnes gadījumā ir stabils stāvoklis (2). Cilindram nestspēja strauji zūd un deformācija ir daudz lielāka par ideālo gadījumu (3).

Otrā veida noturības zudums (attēls pa labi) raksturojas ar to, ka, sasniedzot līdzsvara stāvokļa bifurkāciju, notiek ļoti straujš noturības zudums. Viens līdzsvara stāvoklis no otra atrodas ļoti tālu (A un B). Otrais līdzsvara stāvoklis var būt arī stabils un var turpināt pievienot pat vēl lielāku slodzi.

Ja lineālam izveido lēzenu izliekumu un pievieno vertikālu slodzi, notiek snap-through. Izliekums uz augšu pārlec uz izliekumu uz leju. Otrajā līdzsvara stāvoklī konstrukcija būs vēl stiprāka, jo pirmajā stāvoklī lokā pamatā bija spiede, bet otrā ir stiepe un materiāls var tikt izmantots pilnīgi un var izturēt lielāku slodzi.

Snap-through var rasties gadījumos, ja ir vienstāvīgi daudzlaiduma rāmji. Ārējie rāmji notiektu slodžu ietekmē deformējas un balsti nedaudz padodas, tad var būt gadījums, ka vidējais laidums pārlec no augšas uz apakšu. Šādiem rāmjiem ir jāpārbauda otrā veida noturības zudums.

Galvenā atšķirība starp pirmā un otrā veida noturības zudumu: pirmā veida noturības zudumā blakus līdzsvara stāvoklis ir tuvu, otrā vieda noturības zudumā blakus līdzsvara stāvoklis ir tālu.

Klasiskais noturības zudums

A attēlā pēckritiskā deformācija ir stabila un pozitīva. Uz horizontālās ass ir delta izliece, kas notiek, palielinoties spēkam P. Ja sāk pielikt spēku P, izmaiņu vēl nav. Palielinot spēku P, sasniedz bifurkācijas punktu jeb kritisko spēku (Pcr). Iestājas jauns līdzsvara stāvoklis. Kolonnas gadījumā (ideāla stieņa gadījumā) šī deformācija var notikt trīs dažādos veidos – izliekties uz vienu vai otru pusi vai neizliekties (nonākt absolūti nestabilā stāvoklī, kur pie mazākās iedarbes sāks izliekties uz vienu vai otru pusi).

B attēlā ir nestabils līdzsvara stāvoklis. Piemērā ir tornis ar atsaitēm. Palielinoties slodzei P, tiek sasniegts bifurkācijas punkts, bet atsaišu dēļ pēckritiskais ceļš ir atšķirīgs no pirmā gadījuma. Noturības zudums notiks straujāk un gadījums ir bīstamāks.

C piemērā ir rāmis. Ja rāmja kolonnu noslogo ar spēku P, bifurkācija un blakus līdzsvara forma arī var tikt ieņemta dažādos veidos – sija var izliekties uz augšu, apakšu (atkarīgs no konstrukcijas nepilnībām). Ja konstrukcija ir ideāla, tad rāmis turpina stāvēt, no ārpuses nav izmaiņu, bet pastāv nestabils līdzsvara stāvoklis un jebkāda iedarbe no ārpuses var izraisīt avārijas stāvokli.

Kritiskā spēka aprēķina metodes

Noturībā izšķir 3 aprēķinu metodes – statisko, dinamisko un enerģētisko.

Statiskā ir klasiskākā aprēķina metode, kurā tiek veidoti līdzsvara vienādojumi blakus līdzsvara stāvoklī. Tiek apskatīts brīdis, kad ir tikko sasniegta bifurkācija un noturības zudums. Tādai izliektai shēmai veido statiskos līdzsvara vienādojumus, atrisina spēku P, pie kura notiek izmaiņas.

Dinamiskās metodes gadījumā tiek veidoti kustību vienādojumi.

Enerģētikas metodē tiek izmantots virtuālo pārvietojumu princips.

Visām kritiskā spēka noteikšanas metodēm ir kopīgas iezīmes. Visām metodēm vispirms jāuzzīmē aprēķina shēma deformētai konstrukcijai. Ir jāsaprot, kādā veidā pie bifurkācijas tā deformēsies. Jāuzraksta līdzsvara vienādojums deformētā stāvoklī. Līdzsvara vienādojuma veids atkarīgs no izvēlētās metodes. Kad vienādojumi ir uzrakstīti, jāveido vienādojuma atrisinājums un tas ir kritiskais spēks. Kritiskais spēks – spēks, pie kura notiek pāreja no viena stāvokļa uz otru.

Statiskā metode

Līdzsvara vienādojumus veido blakusstāvoklī.

Stieņa kritiskā spēka noteikšanai izmanto diferenciālvienādojumu:

Katrai kritiskā spēka vērtībai atbilst sava noturības zuduma forma.

Statiskajā metodē veido statiskos līdzsvara vienādojumus līdzsvara stāvoklim, kas ir bezgalīgi tuvs blakus līdzsvara stāvoklim, kad noturība vēl nav zudusi. Tie vienādojumi ir atkarīgi no tā, kāda veida konstrukcija tiek apskatīta. Konstrukcijai ir brīvības pakāpe – ģeometrisko parametru skaits, kas pilnībā nosaka visu sistēmas punktu pārvietošanos. Izšķir sistēmas, kurām ir galīgas brīvības pakāpes (noteikts skaits), tām statiskie vienādojumi ir parasti algebriski vienādojumi.

Ja tiek apskatīta konstrukcijai, kurai, piemēram, stingums ir kāds galīgs lielums, tas nozīmē, ka būs sistēma ar bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpēm un jāizmanto diferenciālvienādojumi.

Lai atrastu kritisko spēku, pie kura notiek stieņa izliece, tad statiskajā metodē ir divi varianti.

Pirmajā variantā blakus līdzsvara stāvokli var aproksimēt ar to, ka nevēlās veidot diferenciālvienādojumus. Stieni sadala galīga skaita noteiktos elementos ar zināmām īpašībām un izlieci aproksimē ar gabaliņiem. Ja katru no gabaliņiem uzskata par bezgalīgi stingu vai ir zināmas tā īpašības, var koncentrēties uz atsevišķiem punktiem. Tad var aprēķināt kritisko spēku, veidojot algebrisku vienādojumu sistēmu.

Otrajā gadījumā Eilera formulu iegūst no diferenciālvienādojuma, jo blakus stāvokli apzīmē kā funkciju. Tālāk veido līdzsvara vienādojumu, kas būs diferenciālvienādojums P_cr atrašanai.

Eilera kritiskā spēka noteikšana kolonnai (piemērs):

Horizontālā balsta reakcija ir pretēji P (H_A ir vienāds ar P). V_A un V_B ir nulle, jo virzienam nav pielikts nekāds spēks.

Kad balsta reakcijas ir zināmas, jāveido līdzsvara vienādojumu.

Kā veidot līdzsvara vienādojumu? Kaut kur brīvā vietā ir jāveic šķēlumu, jāatmet otru pusi, jāskatās, kādi ir iekšējie spēki izveidotajā šķēlumā un ārējie spēki, kas ir balsta reakcija. Tad ir jāveido līdzsvara vienādojumus. Jāsummē visi spēki pa x asi (P un F), jāsummē visi spēki pa y asi (S). S jeb šķērsspēks ir nulle, jo tam nekas nav pretī. Paliek momentlīdzsvara vienādojums – veido ap punktu A, tālāk seko moments + pretējs spēks F reizināts ar plecu, kas ir izlieces, funkcijas vērtība kaut kādā konkrētā vietā. Rezultāts vienāds ar nulli. –M+Fy(x)=0 jeb M+Py(x)=0

Kad līdzsvara vienādojums ir izveidots M+Py(x)=0, tad ir jāatceras sakarību M=EIy’’ (sakarība, kā šķēlumā var izteikt momentu no ģeometriskiem lielumiem).

Ja līdzsvara vienādojumā momentu aizvieto ar EIy’’, tad iegūst otrās kārtas lineāru diferenciālvienādojumu EIy’’+Py(x)=0 un tas ir homogēns, jo galā ir vienāds ar nulli.

Jāvērš uzmanību tam, ka šajā gadījumā y izliekuma otrās kārtas atvasinājums nav paātrinājums, kā tas ir dinamikā, jo atvasināts tiek pēc vietas, nevis pēc laika (kurā vietā sijā atrodas izliekums). Šis ir pamatvienādojums, kuru atrisinot, var iegūt P jeb kritiskā spēka Eilera formulu.

Pirmkārt, šajā vienādojumā (EIy’’+Py=0) ir jāizšķir un skaidri jāizprot, kas tajā ietilpst. Py – ārējā spēka un izliekuma reizinājums, tas cenšas destabilizēt jeb izvest no līdzsvara stāvokļa. EIy’’ – šis moments cenšas stabilizēt un ievest atpakaļ līdzsvara stāvoklī. Tajā brīdī, kad P sasniegs P_cr vērtību un notiks izvešana no līdzsvara stāvokļa, tad tas ir tas P_cr, kurš ir jāatrod.

Vienādojumu atrisina šādā veidā:

Vispirms uzraksta sākuma nosacījumus – skatās, kas notiek pie kaut kādām x un y vērtībām. Y ir izliece un x ir attālums no viena balsta un pilnais laidums ir L līdz otram balstam. Sākuma nosacījumi: ja x=0, tad izliekums pie pirmā balsta ir nulle jeb y=0; ja x ir vienāds ar visu laidumu jeb x=L, tad izliece arī ir nulle jeb y=0. Nosacījumi ir vajadzīgi, lai atrastu diferenciālvienādojuma koeficientus.

Tālāk vienādojumu EIy’’+Py=0 izdala ar EI, lai y’’ paliktu viens pats. Tālāk izdala EI un Py un parādās P/EI, ko ērtības labad aizstāj ar k². Rezultātā vienādojums izskatās šādi: y’’+k²y=0. Vienādojuma vispārīgais atrisinājums jeb y=Asinkx+Bcoskx.  Šajā gadījumā A un B ir koeficienti, kuri ir jāatrod, un, lai to izdarītu, vienādojumā ir jāieliek zināmos sākuma nosacījumus.

Iegūst vienādojumu AsinkL = 0. Lai vienādojums izpildītos, ir jābūt vairākiem gadījumiem. Piemēram, ja A=0, tad vienādojums arī ir nulle un izpildās. Bet, ja A=0, tad tas nav piemērots gadījums, jo stienis ir taisns. Piemērots ir gadījums, kad sinkL = 0. Lai sinuss no kāda skaitļa būtu nulle grādu, tad viņam jābūt vienādam ar π vai ar n kārtu reiz π (n=1,2,3…). No kl=nπ var izteikt sakarību, ka k² = n²π ²/l². Zinot k², ir iespējams to ievietot izteiksmē P/EI=k². No izteiksmes izsaka P un iegūst Eilera kritiskā spēka sakarību.

Svarīgi atzīmēt, ka vienādojumu AsinkL = 0 kā diferenciāla vienādojuma atrisinājumu sauc par raksturīgo vienādojumu. Katrai shēmai ir savs raksturīgais vienādojums un savs atrisinājums P_cr vērtībai.

Raksturīgā vienādojuma atrisinājums ir spēkā pie kaut kāda n reiz π. Noturības zudums var realizēties sistēmai (teorētiski) ar bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpēm pēc bezgalīgi daudz formām. N kārtas skaitlis ir pusviļņu skaits. Der atcerēties, ka svārstību formas sistēmai, kurai ir kaut kāds stingums, arī ir bezgalīgi daudz.

Tāpat ir ar noturības zudumu, izņemot vienu BET: visas noturības zuduma formas ir teorētiskas un matemātiski korekti atrisinās. Praktiski, ja tiek sasniegta mazākā iespējamā P_cr vērtība un realizējas noturības zudums, tad viss – tas jau ir realizējies. Visas pārējās formas ir tikai matemātiska vingrināšanās un tās neiestāsies. Tāpēc noturības zudums vienmēr realizēsies zemākajai formai jeb ar mazāko P_cr vērtību.

Šī shēma ir gadījumiem, ja ir elastīgas deformācijas. Elastīgas deformācijas pie noturības zuduma ir tad, kad ir liela laiduma stieņi. Stieņiem ar mazu laidumu notiek plastiskas deformācijas, šajā gadījumā nevar izmantot Eilera sakarības.

Dinamiskā metode

Dinamiskā metode ir vispārīga un to var izmantot daudzām konstrukcijām.

Spiestai sistēmai veido kustību vienādojumu blakus izliektajā stāvoklī, tiek sameklēta sistēmas pašsvārtību frekvence.

Pēc tās sameklēšanas atrod kritisko spēku, pašsvārtību frekvenci pielīdzinot nullei.

Enerģētiskā metode

Balstīta uz virtuālo pārvietojumu principu:

Elastīgas sistēmas potenciālā enerģija = darbs, ko veic sistēmas ārējie un iekšējie spēki pārvietojot no nedeformētā stāvokļa deformētā.

Lagranža – Dirihlē kritērijs:

Sistēmai ar vienu kustības brīvību:

a – ģeometriskais parametrs, kas nosaka kustības brīvību;

n – zemākā pārskaitļa atvasinājuma kārta; 

m – jebkura atvasinājuma kārta.

Enerģētiskās metodes priekšrocība: var aprēķināt ne tikai to, kad notiks pāreja, bet arī to, kāda ir šī pāreja – vai jaunais līdzsvara stāvoklis ir stabils, nestabils vai indiferents.

Izmantotie informācijas avoti:

• Bulavs, F. un Radiņš, I. 2008. Statiski noteicamo stieņu sistēmu būvmehānika. Rīga: RTU.
• Gaile, L. 2020. Darinājumu stabilitātes jēdziens. Risināšanas metodes ideāliem stieņiem.
• Konstrukciju aprēķinu veidi. LLU. Iegūts no: https://www2.llu.lv/buvmehanika/res/spec/2.pdf