Jebkurā inženierdarinājumā (kā kustīgā, tā nekustīgā) tiek izmantoti nesoši konstrukciju elementi, kuri veido tā saucamo “spēka karkasu” un uzņem konstrukcijai pieliktās slodzes un iedarbes. Konstrukcijas un to nesošos elementus jāprojektē tā, lai tie būtu pietiekami izturīgi, t.i., lai tie būtu spējīgi uzņemt visas iespējamās slodzes un iedarbes pietiekami ilgā laika periodā. Tātad konstrukcijai jābūt stiprai un ilgizturīgai. Šo prasību nodrošināšanai jāveic atbilstoši aprēķini, uz kuru rezultāta pamata tiek veikta ilgizturīgas būves projektēšana.

Apskatā par rāmju noturības problēmām ir spēkā pieņēmumi, ka tiem ir ideālas īpašības. Līdzīgi, kā atsevišķo stieņu gadījumā, arī rāmjiem tiek meklēti tādi spēki P, pie kura rāmī spiestie elementi pāriet no viena līdzsvara stāvokļa otrā jeb zaudē noturību. Tiek meklēta P_cr vērtība.

Kā var izmantot zināšanas par Eilera stieni šāda rāmja aprēķinā? Lai to saprastu, ir jāatsauc atmiņā četri pamatgadījumi (1.attēls), kuros ir noteikti robežnosacījumi (balsta veidi) stieņa sākumā un beigās.

Parastais Eilera stienis ir variants b. Variants a ir konsole, kuras gadījumā aprēķina garums tiek reizināts ar 2, tādā veidā tiek iegūta P_cr vērtība.

Uz vienkārša rāmja (2.attēls), kas sastāv no trīs stieņiem, var tikt izmantotas Eilera stieņa zināšanas rāmja aprēķinos. Šajā rāmī ir trīs stieņi, divi horizontālie stieņi ir ar norādītajiem robežnosacījumiem, viens stienis ir vertikāls, kas apakšā ir iespīlēts, bet augšā stingi savienots mezglā ar sijas elementiem. Ja tiek pielikts spēks P, spiestais (vertikālais stienis) zaudēs noturību un būs vainīgs pie rāmja sabrukuma. Kas būs līdzsvara stāvoklis, pieliekot spēku P, pie noturības zuduma? Vertikālais stienis izlieksies. Lai vertikālais stienis izliektos, augšējā punktā ir jānotiek kaut kādam pagriezienam. Pagrieziens ir atkarīgs no tām sijām, kas ir blakus savienotas un tās var izliekties attēlā redzamajā veidā. Noturības zudums var notikt arī uz otru pusi, ne tikai tā, kā rādīts attēlā.

Spiestā stieņa robežnosacījumi:

Apakšā ir iespīlējums. No pamatgadījumu shēmas (1.attēls) tas atbilst a, c un d variantam. Augšā ir stings mezgls, kas varētu būt iespīlējums. Teorētiski varētu atbilst d variantam, bet tas tā nav, jo blakus sijas ir padevīgas un kaut kāds pagrieziens var notikt. Līdz ar to otrs kandidāts ir c variants. Viena galējība ir, ka pilnīgi brīvi pagriežas, otra ir tāda, ka ir pilnīgi iespīlēts. Var izsecināt, ka pašreizējā situācija ir kaut kur pa vidu.

Tas nozīmē, ka aprēķina garums spiestajai kolonnai šajā piemērā būs starp 0.7 un 0.5. Ja lielums ir zināms, tad to var ievietot Eilera formulā ar konkrēto stieņa garumu no viena nostiprinājuma veida līdz otram un atrast P_cr vērtību. Lai vienkāršotu aprēķinus, koeficientu, kas ievērtē gala nostiprinājumu, aizstāj ar jaunu mainīgo ν², kas ir π²/µ². Tagad ir iespējams pārrakstīt Eilera formulu – P_cr= ν² EI/l². Šo izteiksmi izmanto rāmja aprēķinos. Galvenais uzdevums – katram spiestajam stienim jāsameklē, kāda ir ν vērtība, tad var atrast kritisko spēku, pie kura notiek pāreja. Ja nepieciešams, pārkārtojot formulu, ir iespējams atrast rāmja aprēķina garumu L₀, kas tādā gadījumā būs πl/ν. Tālāk tiks apskatīti, kādi ir risināšanas veidi, lai atrastu ν², jo tas ir galvenais uzdevums.

Aprēķinu metodes un gaita

Līdzīgi, kā atsevišķa stieņa gadījumos, ir pieejamas vairākas aprēķinu metodes. Šeit piemērotākā ir statiskā aprēķina metode, kurā visam rāmim tiek veidoti līdzsvara vienādojumi bezgalīgi tuvā blakus stāvoklī. Atšķirība ir pašā risināšanas metodikā, jo tiek izmantoti jau iepriekš iegūti rezultāti, nevis viss tiek iegūts no jauna no sākuma līdz beigām.

Sākuma līdzsvara stāvoklī rāmim visi stieņi ir taisni, bet kritiskās slodzes gadījumā rāmja stieņi kļūst izliekti. Lai varētu veiksmīgi risināt aprēķinus, ir jāievieš zināma aproksimācija, tuvinājumi un pieņēmumi.

Galvenie pieņēmumi:

• Slodze pielikta tikai rāmju mezglos un sākuma līdzsvara stāvoklī nerada elementu lieci. Attēlā 3 rādīts rāmja piemērs. Sākuma līdzsvara stāvoklī visi stieņi ir taisni un slodze ir pielikta tikai stieņa mezglos. Reālā dzīvē tā nav taisnība. Uz rāmja ir, piemēram, jumta pārsegums, vienmērīgi izkliedēta slodze, kas grib izliekt rāmja rīģeli. Pat tādā gadījumā ir nepieciešama idealizācija un visu pielikto izkliedēto slodzi pārnes uz mezglu punktiem un pieliek mezglu punktos slodzi, lai jau pašā sākumā nerastos stieņos elementu liece.
• Stieņi ir nesaspiežami un neizstiepjami, bet pie noturības zuduma blakus līdzsvara stāvoklī tie vienkārši izliecas un lieces deformācijas ir mazas. Tiek piemērota mazo pārvietojumu teorija.
• Attāluma izmaiņas starp rāmja mezgla elementiem neievēro.
• Kritiskais stāvoklis jeb blakus līdzsvara forma tiek sasniegta, visām mezglu pieliktajām spiedi radošajām slodzēm proporcionāli pieaugot.

Līdzīgi, kā rāmja aprēķinos uz noteiktām ārējām slodzēm, neievērtējot noturību, arī ievērtējot noturību statiskā metode sadalās divās metodēs:

• spēku metode;
• pārvietojumu metode.

Rekomendējama ir pārvietojumu metode, jo tā ir mazāk apjomīga.

Lai veiksmīgi pielietotu pārvietojumu metodi rāmja noturības aprēķinos, ir jāatceras statiski nenoteicamu stieņu būvmehānika.

Attēlā 4 redzamajā tabulā ir apskatīti atsevišķi stieņi ir dažādiem robežnosacījumiem, ar balstu vienības pagriezieniem vai balstu vienības pārvietojumiem. Šādi stieņi (balstam pagriežoties vai pārvietojoties) tika liekti. Tātad tie ir liekti stieņi, kuriem tiek meklētas epīras, šķērsspēka vērtības, kuras tabulā ir jau sarēķinātas. Šādu tabulu arī iespējams izmantot, bet to ir jāpapildina ar informāciju, jo rāmja gadījumā stieņi tiek ne tikai liekti, bet arī spiesti.

Lai risinātu rāmju stabilitātes jautājumus, jāprot noteikt piepūles un pārvietojumus spiesti-liektos stieņos (nevis tikai liektos stieņos, kā tas ir uzrādīts tabulā). SNIP metodikā liekti-spiesti stieņi tiek analizēti, kā ekscentriski slogoti elementi, bet EC3 metodikā veido mijiedarbības vienādojumus.

Attēlā 5 ir parādīts vispārīgs uzdevums, vispārīga problēmas nostādne spiesti-liekta stieņa diferenciālvienādojuma veidošanai. Augšējā pusē ir stieņa gabals. Stieņa gabals neizliektā stāvoklī ir A-B (apzīmēts ar raustītu līniju). Blakus līdzsvara stāvoklī tas ir attēlots zemāk raustītajai līnijai. Blakus līdzsvara stāvoklī ar šo stieni ir noticis viss iespējamais – nobīdījies galos, ir pieliktas dažādas šķērsslodzes (gan izkliedētas, gan koncentrētas), stieņa galu robežnosacījumi ir gan moments, gan šķērsspēks un asspēks, kas izsauc noturības zudumu. Šim vispārīgajam gadījumam ir izveidots līdzsvara vienādojums (diferenciālvienādojums), kura atrisinājums ir nodemonstrēts zem stieņa shēmas. Šī diferenciālvienādojuma atrisinājums ir pārvietojums (tiek uzzināta pārvietojuma vērtība jebkurā šķēluma x vietā stienī).

Pirmajā izteiksmē ietilpst vairākas vērtības – sākuma vērtības (M_A un Q_A), parametrs n, kas ir aizstāts √N/EI (asspēks pret elastības moduli reiz inerces momentu). Šķērsslodzes ietekme ir atrisināta attēla apakšējā daļā pa labi. Šajā gadījumā tas netiek ņemts vērā, jo pieņēmums apgalvo, ka stieņa vidū nav nekas, kas to izliec. Ja ir pārvietojums jebkurā punktā, tad ir vienkārši atrast, kādi ir pagriezieni jebkurā punktā, jo, atvasinot pārvietojumu, iegūst pagriezienu. Izteiksme (1) tiek ielikta atvasinājumā, iegūst izteiksmi pagriezienā (2). Pēc izteiksmes (3) iespējams atrast, kādi ir momenti jebkurā punktā. Zinot to, ka šķērsspēks ir momentu izmaiņa, ir iespējams atrast arī visus šķērsspēkus jebkuram stieņa punktam (4).

Ja parametru n pareizina ar stieņa garumu l, tad tiek iegūts ν, kuru arī vajag iegūt. Tātad šajās izteiksmēs ietilpst arī ν un tas no izteiksmēm nāks arī ārā. Ja parametrs ir zināms, tad var to ielikt Eilera kritiskajā formulā un atrast to, pie kādas P_cr vērtības viss šis process notiek. 

Attēlā 6 ir pamatgadījums, kad stienim vienā pusē ir locīkla un otrā pusē iespīlējums, notiek pagrieziens. Pagrieziena rezultātā stienis izliecas un rodas momenti. Ja rodas momenti, tad rodas arī šķērsspēki. Ir parādītas arī sakarības, kā noteikt šos momentus un šķērsspēkus (koeficienti pareizināti ar īpatnējo stingumu i). Šis ir gadījums, kad nav pielikts asspēks.

Attēlā 7 ir uzzīmēta tāda pati pamatsistēma, bet vertikāli. Apakšā ir locīkla, augšā ir iespīlējums. Notiek pagrieziens, stienis izliecas. Turklāt ir pielikts arī asspēks. Šajā gadījumā epīra ir viena daļa no pagrieziena (trīsstūrveida epīra), bet, iestājoties blakus līdzsvara stāvoklim, rodas papildus moments, kas modificē epīru un tā vairs nav trīsstūrveida. Šajā gadījumā var izmantot zināšanas par vienkāršu pagriezienu momentu un šķērsspēku vērtībām, bet ir jāveic reizināšanu ar noteiktu funkciju (funkcija būs sakarība, kas ir atkarīga no parametra ν, ko nepieciešams atrast). Konkrēti šim piemēram ar šiem robežnosacījumiem, ar pagriezienu ir atrisināts, ka tāda funkcija ir:

Momentu var uzzināt, ja reizina to momentu, kas ir iegūts stienim vienkārši izliecoties, ar to, kas ievērtē noturības zuduma efektu. Iegūst šo izteiksmi:

Atkarībā no pamatgadījuma, šī izteiksme mainīsies. No izteiksmes ir nepieciešams izteikt ν vērtību, jo tad tiks uzzināta P_cr vērtība.

Pārvietojumu metodes risināšanas gaitā tiek veidoti kanoniskie vienādojumi. Šajā gadījumā pamatsistēma jāizvēlas tāda, lai ārējo spēku ietekmē nerastos moments. Tas ir definēts pamatprasībās – moments nevar rasties tikai no ārējiem spēkiem, tas rodas no noturības zuduma. Ja nav moments, kanoniskajos vienādojumos brīvie locekļi ir vienādi ar nulli. Kanoniskie vienādojumi:

Šajos vienādojumos r ir reakcijas no vienības spēkiem, bet Z ir nezināmie pārvietojumi. Lai īstenotos šāds risinājums, Z nevar būt nulle. Ja Z nav nulle, tad koeficientu matricai jeb terminantam ir jābūt vienādam ar nulli:

Tātad ir jāatrod r un jāieliek detarmentā, jāpielīdzina nullei. Meklējot r vērtības, ir vajadzīgas momenta un šķērsspēka gala vērtības, tajās ietilpst funkcijas ar ν, kuras tika iepriekš apskatītas.

Izmantotie informācijas avoti:

• Bulavs, F. un Radiņš, I. 2009. Būvmehānikas ievadkurss. Rīga: RTU.
• Gaile, L. 2019. Noturība, rāmji.
• Orlovs, J. 2013. 3. Eirokodekss “Tērauda konstrukciju projektēšana”. 2.daļa. Iegūts no: https://www.slideshare.net/JurisOrlovs/2013-1115-ec3v52dala