Bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpes
Vienkāršākais piemērs sistēmai ar bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpēm ir sija, kurai pašas masa vai uzliktais svars ir sadalīts vienmērīgi pa tās garumu. Tādā gadījumā ir bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpes, jo ir bezgalīgi daudz masu, kas radīs inerces spēkus (skat. 1. attēlā x1, x2, x3, x4).
Sistēmai ar vienu kustības brīvības pakāpi ierosinātās svārstības svārstās harmoniski. Sistēmai ar vienu kustības brīvības pakāpi masas svārstību apraksta sinusoīda vai kosinusoīda (rāda punkta maksimālo un minimālo amplitūdu noteiktā laika momentā). Sistēmai ar bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpēm punkta svārstība nav harmoniska, bet gan salikta un sarežģīta kustība laikā. Šādu sistēmu var sadalīt atsevišķos gadījumos, respektīvi, svārstību var sadalīt posmos, kad svārstības atkal notiek harmoniski. To dara pēc sinusa vai kosinusa likuma. Šīs svārstības ir ar savu pašsvārstību frekvenci. Ja atsevišķi sadalītās harmonikas savieno, tad iegūst oriģinālo, sarežģīto kustību. Atsevišķi sadalītās svārstības sauc par svārstību formām, jo var redzēt, kādā veidā notiek sijas svārstība, lai realizētos harmoniskā funkcija. Tātad, ja sistēmai ir bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpes, tad ir bezgalīgi daudz iespējamo svārstību formu ar bezgalīgi daudz atbilstošajām pašsvārtību frekvencēm. Brīvu svārstību var aprakstīt ar kustības vienādojumu (4.kārtas diferenciālvienādojums, jo tajā ir divi mainīgie – laiks un apskatāmā punkta atrašanās vieta).
Kā iegūt pašsvārtību frekvences un citus interesējošos lielumus?
Brīvu svārstību kustības vienādojums sistēmām ar bezgalīgi daudz kustības brīvības pakāpēm ir sarežģīts un matemātiski atrisināt to arī ir sarežģīti. Ir ieteicams meklēt rokasgrāmatās un grāmatās tabulas ar dotiem atrisinājumiem. Parasti tie ir doti šādā formā:
Cn koeficients dod vērtību, kas pārvērtīs pašsvārstību frekvenci ωn un piesaistīs to pie kādas konkrētas svārstību formas. Apzīmējumi grāmatās mēdz būt citādāki, tādēļ tam jāpievērš uzmanību. Piemēram, cn pirmajai svārstību formai ir 3.5160. Tas nozīmē, ja vienādojumā ievietos elastības moduli E, konstrukcijas inerces momentu I0, izkliedēto masu m0 un konsoles laidumu L4, reizinot ar 3.5160, iegūs pašsvārstību frekvenci. Citreiz ir nepieciešams iegūt, kā izskatās pašsvārstību formas (tas tiek uzdots ar izteiksmēm un tabulā funkcijas apzīmētas ar raustītu līniju, kuras var matemātiski aprakstīt). To apzīmē ar šo vienādojumu:
Deltu iespējams atšifrēt atsevišķi:
3. attēlā ir tornis ar mainīgu šķērsgriezumu laukumiem un mainīgu masu augstumos, iepriekšējās sakarības, visticamāk, nederēs šim piemēram, jo tās bija konstantai masai augstumos. Tornis sadalīts četros blokos un ir uzskatāms par sistēmu ar četrām kustības brīvības pakāpēm, būs četras svārstību formas. Iespējams, ka šīs četras svārstību formas būs pietiekamas, lai aprakstītu ierosināto kustību. Šai sistēmai matemātiskais modelis tiek konstruēts līdzīgi, kuram ir stingumi (zig-zag līnija), atsevišķas masas (taisnstūri), bet šoreiz ir četras masas. Katrai masai ir iespējams pārvietojums (x1, x2, x3, x4). Šajā gadījumā nav ņemta vērā rimšana, ir vajadzīgs atrisināt pašsvārtību frekvences. Ja ir jārisina uzspiestās svārstības, tad rimšana ir jāņem vērā.
Vienkāršākā sistēma ar vairākām kustības brīvības pakāpēm ir sistēma ar divām kustības brīvības pakāpēm jeb divām globālām masām, kas rada inerces pārvietojumus.
Pašsvārstību un uzspiesto svārstību noteikšana ar spēku metodi (MDOF)
Sistēmām ar vairākām brīvības pakāpēm ir vairākas pašsvārstību frekvences, kurām, sakrītot ar uzspiesto svārstību frekvenci, ir iespējami vairāki rezonanses stāvokļi. Brīvo svārstību laikā uz elastīgām sistēmām iedarbojas masu inerces spēki. Piemēram attēlota šāda sistēma ar 3 izkliedētām masām:
Masu radītos inerces spēkus raksturo otrais Ņūtona likums (ir nomainīti apzīmējumi, kas atkarīgs no grāmatu dotajiem apzīmējumiem). Otrais Ņūtona likums jeb dinamikas pamatlikums nosaka, ka, ja objekts tiek pakļauts spēkam vai spēku kopumam, kas neatceļas, objekts paātrinās rezultējošā spēka virzienā, un šis paātrinājums ir proporcionāls šī neto spēka intensitātei un apgriezti proporcionāls objekta masai. M – masa, y – paātrinājums, x – masas radītais inerces spēks.
Kāds ir kopīgais pārvietojums noteiktā i punktā?
Piemēram, y1 punktā kopējais pārvietojums būs inerces spēka un padevīguma reizinājums jeb:
Šim pārvietojumam papildu nāk klāt masas m2 un m3 radītie inerces spēki.
Tāpat, kā sistēmai ar vienu kustības brīvības pakāpi, deltas jeb spēku vieninieku radītos pārvietojumus inerces spēku virzienā (ẟ) ir jānosaka pēc Mora formulas, Simsona vai Šķāgina vienības spēkiem. Deltas ir jāatrod visur, kur ir masas. Deltas veido padevīguma matricu, kas ir apgriezti proporcionāla stinguma matricai. Šī gadījuma vienādojumu sistēma:
Y un y’’ vietā jāievieto brīvu svārstību atrisinājumu. Vienādojumā var redzēt to, ka y otrās kārtas atvasinājums ir paātrinājums.
Atrisinājuma ieguvei ērti izmantot šādu risinājumu:
Ymax ir amplitūda, tad seko sinuss funkcija, ω ir pašsvārstību frekvence, t ir laiks, φ ir fāžu nobīde. Divreiz atvasinot, iegūst paātrinājumu. Paātrinājuma izteiksmi iespējams ievietot vienādojumā.
Pašsvārstību noteikšana ar spēku metodi (MDOF)
Ja iepriekšējos vienādojumos ieliek atrisinājumus (y ir amplitūdas un sinusa reizinājums (omega, t un fāžu nobīdes reizinājums)) un paātrinājuma vietā ieliek paātrinājuma atrisinājumu, sinusa vērtības abās vienādojuma pusēs noīsinās. Visu pārkārtojot uz otru pusi, iegūst šādu sistēmu:
Ja katram no vienādojumiem sakārto y pēc kārtas, var redzēt, ka y priekšā eksistē koeficienti, jo y ir mainīgais. Y vērtības nevar būt vienādas ar 0, jo tiek uzdots, ka eksistē pārvietojums. Atliek secināt, ka pirms y atrodamo koeficientu matrica ir vienāda ar 0, lai vienādojumu sistēmai būtu atrisinājums. Koeficientos atrodas masas m (tās ir zināmas), padevīgums ẟ (to var aprēķināt) un interesējošais lielums – pašsvārstību frekvence ω.
Izvelkot koeficientus pie y maksimālo pārvietojumu vērtībām, ir iespējams izveidot matricu un tās determinantu. Matricai jābūt vienādai ar nulli un tā ir šāda:
Iepriekš determinants tika veidots sistēmai ar trīs masām, bet ir vieglāk to veidot galīga daudzuma skaita masām. Masu aizstāj ar n (sistēma ar n kustības brīvības pakāpēm). Tad determinants izskatās šādi:
Determinantu ir iespējams izvērst jeb atrisināt. Izvēršanas formula izskatās šādi:
Tālāk ir iespējams atrisināt saknes, kas ir leņķiskās pašsvārstību frekvences. Sistēmai ar divām kustības brīvības pakāpēm matricā būs četri koeficienti. Tādu matricu atrisina, reizinot krustā un atņemot krustus vienu no otra. Izvērstajā vienādojumā iegūst kvadrātvienādojumu, kuram ir divas saknes, un tās būs pašsvārstību frekvences ar savām formām. Sistēmai ar 3 kustības brīvības pakāpēm matrica būs 3×3, izvērstais vienādojums būs kubisks un sistēmai būs trīs saknes. Atrisinot determinantu, iegūs n pozitīvas saknes (atkarīgs no kustības brīvības pakāpju skaita) un atrisināto frekvenču kopu sauc par frekvenču spektru.
Sistēmai ar n kustības brīvības pakāpēm iespējama rezonanse pie n frekvencēm. Frekvenču spektru iespējams iegūt ne tikai teorētiski aprēķinot iespējamās konstrukciju pašsvārstību frekvences, bet arī iespējams to noteikt eksperimentāli. Piemēram, ja ieraksta kādas sistēmas ar daudzām kustības brīvības pakāpēm punkta pārvietojumu, iegūst punkta pārvietojumu laikā. Eksistē matemātisks aparāts, kas izmanto Furjē transformācijas, un ir iespējams atšifrēt signāla harmonikas. Izmantojot šo aparātu iegūst eksperimentālu frekvenču spektru. Piemērs:
Uz horizontālās ass ir frekvences (pašsvārstību, uzspiestās, ierosinātās u.c.). Uz vertikālās ass ir enerģijas daudzums vai amplitūda. Frekvenču spektrā iespējams redzēt pīķus, kuri pie konkrētām frekvenču vērtībām raksturo to, ka signālā ir konkrēta harmonika.
Uzspiesto svārstību noteikšana ar spēku metodi (MDOF)
No Gadsimta vienādojuma var atrast sistēmas pašsvārstību frekvences. Dinamiskā aprēķina mērķis parasti ir noteikt uzspiesto svārstību amplitūdas, to spēku maksimālās vērtības gan iekšējo spēku, gan spriegumu maksimālās vērtības, kā arī pārbaudīt iespējamos rezonanses stāvokļus. Gadījumā ar sistēmu, kurai ir viena kustības brīvības pakāpe, ja tiek uzspiests spēks, tad sākumā sistēma svārstīsies, kā pašsvārstību frekvence un uzspiesto svārstību frekvence. Šeit uzspiesto svārstību frekvence apzīmēta ar θ:
Elastīgo un pretestības spēku dēļ pašsvārstības pēc laika norimst un sistēma turpina svārstīties tikai ar svārstību θ. Šādas svārstības sauc par stacionārām svārstībām. Kā iegūt stacionāro svārstību atrisinājuma daļu? Veicot noteiktus algebriskos pārveidojumus, iegūst kanonisko vienādojumu sistēmu.
Kanonisko vienādojumu sistēmu var izmantot statiski noteicamu un nenoteicamu sistēmu dinamiskam aprēķinam.
Šī sistēma pēc savas formas ir analoģiska ar spēku metodes kanoniskajiem vienādojumiem. Deltas padevīgums nosakāms ne tikai ar spēku metodi, bet arī ar pārvietojumu metodi. No šīs vienādojumu sistēmas iespējams izteikt inerces spēkus x un tad konstruēt momentu epīras, izmantojot šo formulu:
Kanonisko vienādojumu sistēmā padevīgumi ir ar zvaigznītēm, kas ņem vērā uzspiesto frekvenci teta. Šī spēku metode ir arī deformāciju metode, kur ir nedaudz citādāk veidoti kanoniskie vienādojumi. Ja ir zināma dinamiskā epīra Mdin un statiskā epīra, var iegūt dinamisko koeficientu, kas nepieciešams, ja jāprognozē pārvietojumi, spriegumi. Tādā gadījumā tas nav jārēķina dinamiski, bet var izmantot dinamisko koeficientu.
Izmantotie informācijas avoti:
- Alonso, M. & Finn, E. 1970. Fizika I sējums: Mehānika. Inter-American Educational Fund SA.
- Berry, P. 2021. Otrais Ņūtona likums: pielietojumi, eksperimenti un vingrinājumi [tiešsaiste]. Pieejams: https://lv.comunicanima.com/segunda-ley-de-newton.
- Gaile, L. Būvmehānikas speckurss. RTU: Rīga.